Archi's uitvindingen

Dit onderdeel van de site is gewijd de uitvindingen van Archimedes. Eerst behandelen we de boeken die hij geschreven heeft, dan volgen de oorlogsmachines en andere uitvindingen die hij gedaan heeft. De pagina is behoorlijk lang, dus volgt hier een inhoudsopgave waarmee je meteen door kunt klikken naar de leuke stukjes.
Archimedes heeft waarschijnlijk nog een stuk meer boeken geschreven en uitvindingen gedaan dan op deze pagina genoemd worden, maar er zijn veel boeken verloren gegaan door de eeuwen heen en van veel uitvindingen is niet zeker wie ze gedaan heeft. We claimen dan ook niet dat deze pagina compleet is, maar hij bevat wel informatie over Archi's belangrijkste uitvindingen en over al zijn boeken die bewaard gebleven zijn (voor zover wij weten).

Archi's boeken:
Over het evenwicht van vlakken
De kwadratuur van de parabool
De methode
Over de bol en cilinder
Over spiralen
Over conoïden en sferoïden
Over drijvende lichamen
Meting van een cirkel
Zandrekenen

Zijn overige uitvindingen:
De schroef van Archimedes
De klauw
Brandspiegels

Over het evenwicht van vlakken (2 boeken)
Archimedes heeft in twee boeken beschreven hoe je het zwaartepunt van een paar platte vlakken kunt vinden. In het eerste van deze twee boeken heeft hij het zwaartepunt van een parallellogram, een driehoek en een trapezium gevonden. In het tweede boek beschreef hij hoe je het zwaartepunt van een deel van een parabool kunt vinden.
En nu wat meer over het zwaartepunt. Iedere vorm, of hij nu plat of driedimensionaal is, heeft een zwaartepunt. Dat is een punt dat zó gekozen is, dat er aan alle kanten evenveel massa is. Bij een cirkel is dat dus gewoon het middelpunt. Dat kun je makkelijk zien: aan alle kanten van het middelpunt is even veel oppervlakte en dus evenveel massa. Bij een vierkant is het zwaartepunt het punt waar de diagonalen elkaar snijden.

Maar bij de vormen die Archimedes beschreef, komt er wel wat meer bij kijken om het zwaartepunt te vinden. Ik zal er verder niet op in gaan hoe hij het deed, want dat is niet zo relevant en bovendien waarschijnlijk te ingewikkeld om boeiend te zijn.

De kwadratuur van de parabool
In onze tijd is het niet zo moeilijk om de oppervlakte van een tweedimensionale figuur te vinden. Voor de meeste dingen hebben we wel formules en anders slimme programmaatjes op computer en rekenmachine. In de tijd van Archimedes lag dat anders. Het was erg lastig om de oppervlakte te vinden van een figuur met kromme lijnen erin, bijvoorbeeld een cirkel of een parabool. Dat was dan ook een grote uitdaging voor de wetenschappers van zijn tijd en nog vele eeuwen later: de kwadratuur van de cirkel -waarbij je alléén gebruik mag maken van de instrumenten die in de oudheid gebruikt werden- is nog steeds niet opgelost!
Maar wat is nu een kwadratuur? Nou, om de oppervlakte van een figuur te vinden probeerden de wetenschappers om een ander figuur te tekenen met dezelfde oppervlakte, waarvan ze de oppervlakte wel konden berekenen. Bijvoorbeeld: ze probeerden een vierkant te tekenen met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel, want de oppervlakte van een vierkant is gewoon het kwadraat (vandaar ‘kwadratuur’) van de lengte van de zijden. En zo heb je dan dus ook meteen de oppervlakte van de cirkel gevonden.
Maar Archi heeft in dit boek dus de kwadratuur van een deel van een parabool gevonden. Dat is de vorm die je bijvoorbeeld krijgt als je een grafiek tekent van de formule ‘y = x2’. Het is een lijn met een bijzondere kromming erin. Archimedes kon nu dus de oppervlakte berekenen die ingesloten wordt door een deel van een parabool en een rechte lijn.

De methode
Dit is geen boek, maar een brief aan zijn vriend Erastosthenes waarin Archi uitlegt hoe hij zijn resultaten bereikt heeft. Dit is heel waardevol voor mensen die onderzoeken hoe de wiskunde zich ontwikkeld heeft, maar minder relevant voor deze website.

Over de bol en cilinder (2 boeken)
In deze boeken berekent Archimedes veel eigenschappen van een bol, zo nu en dan met behulp van een cilinder. De inhoud of oppervlakte kan hij van allebei niet berekenen, omdat het getal nog niet bekend was (zie verderop bij zijn boek ‘meting van een cirkel’), maar hij berekent wel een hoop dingen rond die inhoud en oppervlakte. Bijvoorbeeld: hij vindt uit dat de oppervlakte van een bol 4 keer zo groot is als de oppervlakte van een platte cirkel met dezelfde straal en hij ontdekt dat de inhoud van een bol precies 2/3 is van de inhoud van een cilinder die er precies omheen past.

Over spiralen
In dit boek beschrijft Archi een spiraal die later ‘de spiraal van Archimedes’ genoemd is. Ook hier berekent hij de oppervlakte van gedeelten van de spiraal en hij vindt een verband tussen de straal en het aantal rondjes dat de spiraal beschreven heeft.

Over conoïden en sferoïden
De titel van dit boek klinkt ingewikkeld, maar in feite vervolgt Archimedes hierin zijn onderzoek naar oppervlakten en inhouden. Conoïden en sferoïden zijn driedimensionale vormen die een beetje lijken op kegels (het Latijnse ‘conus’= kegel) of bollen (het Griekse ‘sphaira’ = bol). Je kunt zo'n vorm krijgen door een kegelsnede (dus een cirkel, ellips, parabool of hyperbool) een rondje om zijn as te laten draaien. Dat is misschien moeilijk om voor je te zien, maar als je dit bijvoorbeeld doet met een cirkel, krijg je een bol. Hieronder zie je als voorbeeld een paraboloïde (= dus 'gemaakt van' een parabool).

Het doel van het boek van Archi over dit onderwerp was om het volume van delen van deze bijzondere vormen te bepalen.

Over drijvende lichamen (2 boeken)
In het eerste van deze twee boeken doet Archimedes de ontdekking waarmee hij het meest beroemd geworden is: de wet van Archimedes. Die zegt dat, voor een voorwerp in het water, het gewicht aan water dat het verplaatst, even groot is als de opwaartse druk die het ondervindt.

In het tweede boek onderzocht Archimedes hoe een paraboloïde in water blijft drijven. Precieser gezegd: hoe de paraboloïde in het water moet liggen om stabiel te zijn en niet te kantelen. Als je de vorm bijvoorbeeld met de top recht naar boven of recht naar beneden in het water legt, blijft hij niet zo drijven, maar kantelt tot hij een beetje schuin ligt. Dat is namelijk wel een stabiele positie.

Dit boek wordt wel beschouwd als het beste boek van Archimedes, omdat het onderwerp veruit het moeilijkste was. Om dit na te doen hebben we nu ingewikkelde computersimulaties nodig.

Meting van een cirkel
Na al die boeken over oppervlakten en inhouden van vormen begint Archimedes in dit boek aan een groot probleem waar wiskundigen in zijn tijd en nog veel later mee kampten: hoe bereken je de omtrek en oppervlakte van een cirkel?
Zoals je waarschijnlijk wel weet, heeft dit te maken met het getal (Pi). De omtrek van een cirkel is 2 keer de straal, de oppervlakte is keer het kwadraat van de straal. Dat betekent dat dus de omtrek is van een cirkel met diameter 1 (dus straal is 1/2).

is een getal met oneindig veel cijfers achter de komma en bedraagt ongeveer 3,14159265... . In 1881 is bewezen dat transcendent is, dat wil zeggen: het is op geen enkele som met gehele cijfers het antwoord. Het getal is dus nooit precies te berekenen, alleen te benaderen. En dat is wat Archimedes deed. Hij kon de omtrek van een cirkel niet berekenen, maar wel van veelhoeken die op een cirkel lijken. Hij berekende in zijn boek de omtrek van drie-, zes-, twaalf-, vierentwintig-, achtenveertig- en zesennegentighoeken. Hij nam telkens als uitkomst het gemiddelde van de ingeschreven en omgeschreven veelhoek, dat wil zeggen een veelhoek die precies om de cirkel heen past en eentje die er precies in past. Wij hebben de berekeningen van Archimedes nagedaan met een rekenmachine. Dat gaat vrij simpel, maar bedenk dat in de tijd van Archi:
- men nog niet kon worteltrekken. Maar Archimedes kon wortels behoorlijk precies benaderen.
- de sinus en tangens, die we in onze berekening gebruiken, nog niet uitgevonden waren.
- de algebraïsche notatie en zelfs het decimale stelsel (= het tellen in tientallen) nog niet gebruikt werden.

Hieronder staat onze benadering met gebruik van een zeshoek, achthoek en twaalfhoek.
Voor de liefhebbers: de formule die we gebruikt hebben, is (H*tan(180/H)+H*sin(180/H))/2 (waarbij H = het aantal hoeken).

Je ziet: hoe groter het aantal hoeken, des te dichter komt de uitkomst bij de echte waarde van . Logisch, want naarmate het aantal hoeken groter wordt, lijkt de veelhoek meer en meer op een cirkel.
Het grootste aantal hoeken dat Archimedes berekende was 96. Je kunt je wel voorstellen wat een enorm werk dat geweest moet zijn. Met deze berekening kreeg hij de uitkomst 3,1419. Dat zijn dus al drie goede cijfers achter de komma. Zo'n goede benadering had bij lange na niemand vóór Archimedes gemaakt. In het oude Babylon dacht men dat = 3 en in Egypte kwam men niet verder dan = 3,16.
In de tijd ná Archimedes werd eeuwenlang heel weinig vooruitgang geboekt met . Tot ongeveer 1600 werden er weliswaar 35 decimalen correct berekend, maar nog steeds met de formule van Archimedes. Pas in de 17e eeuw kwamen er nieuwe formules voor .

Zandrekenen
Dit is een opmerkelijk boek. Hierin bedenkt Archimedes een eigen telsysteem. Zoals we hierboven al opgemerkt hebben, was het decimale stelsel, dat wij gebruiken, in Archi's tijd nog niet of nauwelijks bekend in Griekenland. Archimedes geeft namen aan de getallen 1, 8, 10, 100, 1000 en 10.000 (of zoals hij het zou schrijven: 1.0000, want hij zette de punt steeds voor het vierde in plaats van het derde cijfer). Hij gaf ook grotere getallen een naam, maar het boek waarin hij dat doet is verloren gegaan. Met dit getallensysteem kon hij de getallen tot en met 8*10³⁶ uitdrukken. Hoger ging niet, maar Archi schrijft dat dat ook niet nodig is, omdat je zo al het aantal zandkorrels kunt tellen dat in het universum past.
Maar Archi wil geen loze beweringen doen en gaat dus meteen over tot het berekenen van de grootte van het universum. Dan kan hij vervolgens bepalen hoeveel zandkorrels erin passen en laten zien dat hij gelijk heeft...
Hij baseert zijn berekeningen op de theorie dat de zon aan het uiteinde van het universum staat en bewijst uiteindelijk, na een lange en gedetailleerde berekening, dat het aantal zandkorrels in het universum inderdaad te beschrijven is met zijn getallensysteem.

De schroef van Archimedes
Op een reis in Egypte viel het Archi op hoeveel moeite het de mensen kostte om water omhoog te halen. Als ze bijvoorbeeld op hun akkers water nodig hadden in tijden dat de Nijl laag stond, moest dat emmertje voor emmertje omhoog gehaald worden. Hij bedacht dat dat sneller moest kunnen en ging aan de slag.
Wat hij uitvond, was een schroefpomp. Je neemt een lange, smalle boomstam of iets dergelijks en maakt er gekromde bladen omheen zodat het een schroefvorm krijgt. Aan één uiteinde maak je een wiel of hendel vast, zodat het ding rond te draaien is om zijn as. Dan plaats je het schuin in het water en draait het rond. Het water blijft dan hangen in de rondingen van de schroef en wordt zo omhoog gepompt.
Het moet een enorm werk geweest zijn om zo'n ingewikkelde vorm te maken van hout en het dan ook nog eens waterdicht te houden, maar het loonde wel. Het water kon nu veel sneller omhooggepompt worden en je had er maar relatief weinig kracht voor nodig.
Hieronder een schematisch plaatje. Het klopt niet helemaal, maar met een beetje fantasie ziet u vast wel wat we bedoelen.

De klauw
Er zijn veel versies van verhalen over deze oorlogsmachine, maar wij volgen de versie van de Griekse geschiedschrijver Polybius. We vinden hem op dit gebied het meest betrouwbaar, omdat hij bijna een tijdgenoot van Archimedes was. Tussen Archi's dood en zijn geboorte zaten maar een paar jaar.

Archimedes wist veel van hefbomen. Hij sprak ooit zelfs de gevleugelde woorden 'Geef me een plaats om te staan en ik beweeg de wereld': als hij maar een hefboom had die lang en sterk genoeg was en een vaste plaats in het heelal om op te staan, zou hij de aarde op kunnen tillen. Dus, zo bedacht hij, zou dat zeker moeten kunnen met een schip. Zelfs met de grote, zware houten schepen die de Romeinen gebruikten om Syracuse aan te vallen. Dus ging Archi aan het rekenen en hij liet grote hefbomen bouwen met een klauw eraan. Die zette hij op de stadsmuren en wachtte op de volgende aanval van de Romeinen.
De Romeinse soldaten hadden zoiets niet voor mogelijk gehouden. Als hun schepen te dicht bij de stadsmuren van Syracuse kwamen, werden ze gegrepen door de grote klauw. Aan de andere kant van de hefboom trok vervolgens één miezerig Griekje aan een touw... en de punt van het kolossale schip werd metershoog opgetild! De hefboom had namelijk een groot contragewicht dat waarschijnlijk langs de hefboom kon schuiven, waardoor er maar weinig kracht nodig was om het ding te bedienen. Vervolgens liet de klauw ineens los en viel de punt van het schip het water weer in. De schepen die daardoor al niet kapseisden, kwamen met de punt onder water terecht en liepen vol, zodat ze zonken.
Het plaatje hieronder is een link. Als u hierop klikt, komt u terecht op een Engelstalige website vol met dit soort prachtige plaatjes en animaties van schaalmodellen van de klauw, zodat u een beter beeld kunt krijgen van hoe hij werkt en hoe hij eruit gezien moet hebben. De link opent in een nieuw venster.

Brandspiegels
Het verhaal deed in de tijd van Archimedes de ronde dat hij met behulp van spiegels vijandige schepen in brand kon steken. Lange tijd wist men niet of Archi dat inderdaad kon of niet, maar in theorie is het mogelijk. Als je een spiegel neemt die niet plat is, maar een beetje hol (om precies te zijn: een beetje parabolisch), kun je de zonnestralen naar één punt weerkaatsen. Als je een grote spiegel neemt en er vaart een houten schip door het brandpunt, zou het door de hitte best weleens in de hens kunnen vliegen.
Lange tijd dachten veel wetenschappers dat het onmogelijk was dat Archimedes zulke spiegels maakte. Ten eerste waren er geen bewijzen dat Archimedes al genoeg kennis over optica in huis had. Ten tweede is het heel moeilijk om zulke grote spiegels te maken en dan ook nog met precies de goede holle vorm. Ten derde is het verzamelde zonlicht waarschijnlijk nog niet sterk genoeg om een schip in brand te steken.
Maar in 1973 deed de Griek Ioannis Sakkas experimenten met een set van 70 koperen spiegels met diameters van slechts 0,70 tot 1,70 meter, waarbij hij erin slaagde in een paar minuten een schip op 55 meter afstand in brand te zetten. En er zijn intussen ook goede gronden om de argumenten die eerder aangevoerd werden te weerleggen: ten eerste zijn er aanwijzingen dat twee van de verloren gegane boeken van Archimedes 'Over brandglazen' en 'Branden met spiegels' heetten, ten tweede hoefden de afzonderlijke spiegels dus helemaal niet zo groot te zijn en ten derde heeft Sakkas bewezen dat het zonlicht wel degelijk sterk genoeg was. Bovendien voerde hij zijn experimenten uit in november, dus in de zomer zou het misschien nog wel beter gaan.
Het tv-programma 'Myth busters' op Discovery Channel heeft het dan weer met 300 nauwkeurig geplaatste spiegels geprobeerd op een warme dag, en de temperatuur bij het schip kwam niet hoger dan ongeveer 100 graden Celcius, lang niet genoeg om hout spontaan te laten ontbranden.
Maar of het Archi nu uiteindelijk gelukt is of niet: de vijanden moeten enorm bang zijn geweest voor de levensgevaarlijke spiegels, en dat op zich zou de inwoners van Syracuse al een voorsprong geven in de strijd. Stel je voor dat je een Romein bent die de stad vanaf een schip gaat aanvallen. Je kent alle enge verhalen en bent op je hoede. Als een spiegel die op de stadsmuren staat dan op je gericht wordt, zodat je verblind wordt door het weerkaatste zonlicht en de hitte voelt, zou je dan niet tenminste een zenuwachtig stapje opzij doen omdat je bang bent dat ze je kleren in brand proberen te steken?