Liczby naturalne i całkowite

Liczbami naturalnymi nazywamy liczby 0,1,2,3, ..., 127, ... Liczby naturalne poznaliśmy już wcześniej; służą one do liczenia przedmiotów. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy przez N, tzn.

yv= {o, 1,2,3,...}.

W zbiorze N istnieje liczba najmniejsza. Jest to liczba 0. Jeżeli do tej liczby najmniejszej dodamy 1, to otrzymamy następną liczbę 1. Jeśli do tej liczby dodamy 1, to otrzymamy następną liczbę 2. Możemy dodać liczbę 1 do dowolnej liczby n e Ni otrzymamy następną liczbę n + 1. Ten sposób postępowania pozwala na utworzenie całego zbioru liczb naturalnych. Zauważmy jednak, że nie ma w zbiorze /V liczby najwięk­szej, bo jeśli n e N, to również n + 1 e N. Na liczbach tych można wykonywać pewne działania.

Wynik dodawania liczb a, b nazywamy sumą a + b, natomiast liczby, które dodajemy nazywamy składnikami.

Wynik mnożenia liczb a, b nazywamy iloczynem a ■ b, natomiast liczby, które mnożymy nazywamy czynnikami.

Wynik odejmowania liczb a, b nazywamy różnicą a — b, natomiast liczbę a nazywamy odjem na. liczbę zaś b — odjemnikiem.

Wynik dzielenia liczb a, b nazywamy ilorazem a : b, natomiast liczbę a nazywamy dzielną, liczbę b — dzielnikiem.

Wynik dodawania liczb naturalnych, a także wynik mnożenia liczb naturalnych jest zawsze liczbą naturalną; dlatego mówimy, że działania te są wykonalne w zbiorze liczb naturalnych. Powyższe stwierdzenia można zapisać , jak następuje:

Jeśli a £ N i b e N, to a + beNia-beN.

Inaczej jest z odejmowaniem i dzieleniem liczb naturalnych. Różnica dwóch liczb naturalnych może być liczbą naturalną (np. 7 — 3 = 4), ale może nie być liczbą naturalną (np. 4 — 9 = —5). Podobnie jest z ilora­zem liczb naturalnych; iloraz liczb naturalnych może być liczbą naturalną (np. 6:2 = 3), ale może nie być liczbą naturalną (np.

9:4 =2-). Dlatego mówimy, że działania odejmowania i dzielenia nie są działaniami wykonalnymi w zbiorze liczb naturalnych.

Liczby całkowite

Gdy zaznaczymy liczby naturalne na osi liczbowej, to punkty od­powiadające tym liczbom leżą na prawo od punktu 0, odpowiadającego liczbie 0 w równych odległościach. Punkty leżące na lewo od punktu

0 odpowiadają liczbom ujemnym.

Pary liczb —1 i 1, 2 i —2, —5 i 5, 6 i —6 są przykładami par liczb przeciwnych.

Liczbą przeciwną do danej liczby a jest liczba —a. Na przykład liczbą przeciwną do 10 jest liczba —10, a liczbą przeciwną do —5 jest -(-5) = 5.

Liczbami całkowitymi nazywamy liczby naturalne oraz liczby do nich przeciwne. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy przez C, a więc:

C= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

W zbiorze liczb całkowitych wykonalne są dodawanie, mnożenie

1 odejmowanie. Wynik dzielenia dwóch liczb całkowitych nie zawsze jest
liczbą całkowitą.

Dodawanie liczb całkowitych przypomnimy na poniższych czterech przykładach:

4 + 3 = 7 _ 10 + 3= —7 l() + (-3) = 7 (-7) + (-3)=-10

Przy odejmowaniu liczb stosuje się następującą regułę:

to znaczy odejmowanie liczb zastępuje się przez dodawanie liczby przeciwnej do odjemnika. Zilustrujemy to kilkoma przykładami:

10-7=10 + (-7) = 3,

(—10) —( — 4) 10 + 4= —6,

(—10) —7= —10 + ( —7)= —17, 10 —( —6)=10 + 6=16.

Mnożenie liczb całkowitych przypomnimy na kilku przykładach:

3-5=15,

( —3)-5= — 15,

(-3)-(-5)=15.

Wątpliwości budzi często fakt, że (—l)-(—1)=1. Można go wy­tłumaczyć następująco:

(-1)*0=0

(-1)*[(-1)+1]=0

(-1)*(-1)+(-1)*1=0

(-1)*(-1)-1=0

(-1)*(-1)=1