Teoria Cinética dos Gases
A Energia Interna do Gás

Na aula O Gás Ideal, vimos algumas características microscópicas dos gases. Agora vamos descobrir que as moléculas de um gás possuem energia. No aplicativo abaixo há uma caixa de lado L e dentro há N (5) moléculas de massa m (cada) se movimentando com velocidades variadas.


As moléculas se deslocam em uma direção (horizontal) e chocam-se contra as paredes laterais, e não estão sujeitas a nenhum tipo de força, exceto quando há os choques. Nestas condições dizemos que a energia que cada molécula possui é a energia cinética devida à sua velocidade de translação.

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A energia cinética de uma molécula é a energia do seu movimento. Ou seja, a energia cinética (Ec) depende da massa (m) e da velocidade (v) da molécula:


Então a molécula não vibra e também não roda, porque é monoatômica? Quer dizer que o único movimento que a molécula possui é o de percorrer trajetos em linha reta? Mas, quanto vale a velocidade de cada molécula?

Isso mesmo! No aplicativo acima as moléculas têm velocidades de intensidades diferentes e mesma direção (horizontal). mas, por enquanto, vamos encontrar uma velocidade vx que é a média das velocidades de todas as moléculas. O índice “x” na velocidade é para lembrar que está na direção horizontal.

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Há grandezas na Física, como a velocidade, que para serem definidas necessitam de mais de uma propriedade. Quando falamos, por exemplo, que a velocidade de um automóvel é de 80 km/h, precisamos falar se ele vai na horizontal, ou inclinado, e se vai da esquerda para a direita, ou de cima para baixo, etc. Portanto, estas grandezas são chamadas de vetores, sendo que um vetor possui intensidade (módulo), direção e sentido. Não se esqueça que as grandezas, como a velocidade, também possuem unidade.

A média das velocidades? Ah! entendi. Se três carros têm, respectivamente, velocidades de 40 km/h, 50 km/h e 90 km/h, então a média de suas velocidades é a soma de todas elas (40 + 50 + 90 = 180 km/h) dividida pelo total de carros, isto é, 180 / 3 = 60 km/h.

Agora, se observarmos as moléculas chocando-se contra as paredes, podemos notar que os choques sucessivos exercem uma pressão p contra estas paredes. E, recordando a Equação de Clapeyron, temos que p = R·n·T/V. Mas, como há N moléculas na caixa de volume igual a L3 (L é o valor dos lados da caixa cúbica), a pressão será p = R·N·T/(NA·L3).

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Uma questão sobre pressão. Qual a pressão que um cilindro de chumbo de 10 toneladas (10.000 kg) exerce sobre o chão, quando apoiado sobre uma superfície de 1 m2 de área? Vamos aproximar a aceleração da gravidade para 10 m/s2.

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Se, sobre uma superfície de área A estiver agindo uma força de intensidade F e de direção perpendicular a essa superfície, então existirá uma pressão p que é a razão da força pela área:

p = F / A.

A unidade de pressão é o Pascal (Pa), sendo que 1 Pa = 1 N/m2. Mas há outras unidades: 1 atm (atmosfera) = 760 mm Hg (milímetro de mercúrio) = 101.300 Pa.

Hum?! Pressão de um cilindro? Deixa ver... O peso do cilindro é a massa vezes a aceleração da gravidade, ou seja, 10.000·10 = 100.000 N (Newtons). E, como pressão é a razão da força (ou o peso) pela área, acho que a resposta é 100.000/1 = 100.000 N/m2. Nossa, quase uma atm!

Corretíssimo! portanto, para conhecermos a força que as moléculas exercem sobre uma parede da caixa, basta multiplicarmos a pressão do gás p pela área da parede. Isto é, F = p·A. Mas, como p = R·N·T/(NA·L3) e A = L2, acabamos por ter F = R·N·T/(NA·L). Esta é a força que as moléculas, juntas, exercem sobre a parede.

Mas, qual é a força que apenas uma molécula exerce? Já sei! É só dividir F pelo número de moléculas (N) que atinge a parede. Com isso, F/N = R·T/(NA·L). E a velocidade, onde está?

A velocidade? Pois bem, você concluiu que cada molécula exerce uma força de F/N sobre as paredes. Contudo, vamos encontrar a força exercida por cada molécula através da variação de sua quantidade de movimento quando se choca contra a parede.

Quantidade de Movimento

Se um móvel, de massa m, move-se com velocidade v, então ele possui uma grandeza chamada Quantidade de Movimento e é dada por Q = m·v.

Exemplo: um fusca de 1.000 kg e velocidade de 72 km/h tem quantidade de movimento igual a Q = m·v = 1.000·72 = 72.000 kg·km/h, ou Q = 20.000 kg·m/s.

Choque Elástico

Quando dois móveis se chocam, sem haver deformação e nem dissipação de energia, dizemos que houve um choque elástico.

Seja QA a quantidade de movimento do primeiro móvel, e QB a quantidade de movimento do segundo. Veja o que acontece quando há choques frontais:

Se há conservação da quantidade de movimento, então a quantidade de movimento total no início é igual à quantidade de movimento total no fim do choque:

Qinicial = Qfinal:
QAi + QBi = QAf + QBf.

O Impulso

quando, ao sistema, é aplicada uma força externa, não há a conservação da quantidade de movimento, ou seja, Qinicial diferente de Qfinal. A diferença Qfinal - Qinicial, que é a variação da quantidade de movimento, é o impulso originado pela força externa:

I = Qfinal - Qinicial.

Mas, o impulso também é igual à força multiplicada pelo tempo de sua atuação:

Como a força é igual ao impulso dividido pelo intervalo de tempo, e como I = Qf - Qi, conclui-se que:

Choque contra a Parede

Na figura abaixo é mostrado o choque de uma molécula contra a parede, em que há a mudança de sinal por causa da mudança do sentido de deslocamento, ou seja, para a direita, velocidades positivas, e para a esquerda, velocidades negativas.

As quantidades de movimento inicial e final são iguais em valores absolutos (|Qi| = |Qf|), pois o choque é elástico. Porém, houve uma variação na quantidade de movimento:

Qf - Qi = -mvx - mvx = -2mvx.

Se a molécula sofreu uma variação da quantidade de movimento igual a -2mvx é porque a parede lhe aplicou um impulso de mesmo valor, ou seja, Ip = -2mvx. Todavia, pela Lei da Ação e Reação, a molécula também aplicou um impulso de mesmo valor absoluto, mas no sentido oposto. O que quer dizer que a parede sofreu um impulso de

Im = -Ip = 2mvx.

Ufa! Pensei que nunca ia acabar esse negócio de quantidade de movimento. Então, se a molécula aplica um impulso na parede igual a 2mvx e, como nós vimos antes, também exerce uma força igual a R·T/(NA·L), quanto vale esta tal velocidade vx?

Você chegou perto. Nós vimos também que o impulso é força vezes o intervalo de tempo. Esse intervalo de tempo vamos supor que é o tempo gasto pela molécula entre dois choques na mesma parede. Quero dizer: o tempo que a molécula gasta para ir da parede da direita até a da esquerda, e voltar para a parede da direita.

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Recordando as aulas de cinemática, temos que a velocidade escalar é igual a

onde o delta s é o deslocamento escalar.
No caso da caixa de lado L o deslocamento escalar é igual ao dobro da largura da caixa, isto é,

Ou seja, o intervalo de tempo entre os choques é igual ao dobro da largura dividido pela velocidade da molécula.

Ah! então é só igualar tudo que nós encontramos vx!

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Igualando as duas expressões encontradas para o impulso da molécula:

Chega-se no quadrado da média das velocidades na direção horizontal:

Depois de muito malabarismo encontramos vx, porém, substituímos m·NA por M, que é a massa molar do gás dentro da caixa. Um ponto importante que deve ser ressaltado é que, para um mesmo gás, a média das velocidades das moléculas é dependente da temperatura. Isto é, a temperatura de um gás é um indicador da agitação de suas moléculas. Confira isto no aplicativo abaixo.


Impressionante! Eu aumentei a temperatura e as moléculas começaram a se bater como se estivessem loucas. Mas, aqui elas se deslocam em duas dimensões, não apenas na horizontal. Será que a velocidade continua sendo vx?

Esplêndida sua pergunta! vx é a velocidade apenas na direção horizontal, porém, nesse aplicativo as moléculas se deslocam em mais do que uma dimensão. Assim, haverá uma velocidade vy que é relacionada ao movimento na direção vertical. E a composição das duas resulta no que chamamos de módulo da velocidade, ou da média das velocidades.

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A velocidade é um vetor, e vx e vy são suas componentes. Para se obter o módulo deste vetor vamos lançar mão do Teorema de Pitágoras::


Isto é incrível. Mas, se o gás está numa caixa cúbica, não deveríamos ter três dimensões? Descobri! Basta acrescentar mais uma dimensão no Pitágoras que vai resultar em v2 = 3·R·T/M.

Nestas nossas aulas você foi uma interlocutora excelente. Agora que encontramos v podemos obter a energia cinética média de cada molécula, e concluir esta aula calculando a energia armazenada num gás (energia interna).

Energia Interna

No início desta aula tínhamos que a energia cinética de cada molécula era Ec = 1/2(m·v2). Se substituirmos v2 pela expressão que acabamos de encontrar, a energia cinética de uma molécula passará a ser Ec = 3/2(m·R·T)/M. Mas, como M = m·NA, teremos por fim:

Por outro lado, a energia interna do gás é a soma das energias de todas as moléculas. Ou seja, Eint = N·Ec:

Constante de Boltzmann

Na equação da energia cinética temos a Constante Universal dos Gases (R) dividida pelo Número de Avogadro (NA). esta razão chama-se Constante de Boltzmann e vale k = R/NA = 1,38·10-23 J/K.
Portanto, podemos dizer que cada molécula tem uma energia cinética média igual a

Ec = 3/2(k·T).

Você, que estava curiosa para saber o que era a opção Adiabático no aplicativo do gás ideal, vai saber agora. Se isolarmos termicamente o cilindro, de modo que nem entre e nem saia calor, o gás estará sujeito ao que chamamos de transformação adiabática. Interaja um pouco mais com o aplicativo e verifique o que acontece com a energia interna.


Hei! Espera aí. Você não está esquecendo nada não? E o vôo dos balões de ar quente?

Ok, ok. Eu não esqueci. Para concluir estas aulas sobre teoria cinética dos gases vamos ver como os balões de ar quente voam. Espero que vocês tenham gostado e nos veremos em outras aulas. Tchau!


O Vôo dos Balões de Ar Quente

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Este material educacional foi elaborado por José Brito e seu uso é livre.