Você já tentou afundar uma bexiga, ou uma bola, num tanque d'água? É difícil, não é mesmo? A força que impede a imersão da bexiga na água chama-se empuxo. A força de empuxo ocorre como uma reação do fluido (líquido ou gás) à presença de um objeto em seu interior:

A intensidade da força de empuxo E é igual ao peso do fluido deslocado pela presença do objeto. No exemplo acima, quando a beringela foi imersa na água, houve um deslocamento de volume igual a V_d. Contudo, para sabermos o peso do fluido deslocado é necessário conhecer a densidade deste fluido, pois o peso é massa vezes aceleração da gravidade, e massa é densidade vezes o volume deslocado.
A equação abaixo resume o Princípio de Arquimedes:

Quando um objeto penetra num fluido pode haver três situações:

1. E > P - Se a força de empuxo for maior que o peso do objeto, então haverá uma força resultante impelindo o objeto para cima;

2. E = P - Se a força de empuxo for igual ao peso do objeto, então o objeto fica flutuando no interior do fluido (resultante igual a zero);

3. E < P - Se a força de empuxo for menor que o peso do objeto, então haverá uma força resultante para baixo que fará com que o objeto afunde.

Um balão médio, quando inflado, possui um volume de 5.000 m³ (volume V) e consegue levantar uma carga bruta de 1.300 kg. Nestas condições, o peso do balão é toda a massa que ele carrega (a carga bruta mais a massa de ar que está em seu interior) multiplicada pela aceleração da gravidade: P_balão = (M_bruta+M_ar)·g.
Como foi visto no Princípio de Arquimedes, a massa do ar é o produto de sua densidade pelo volume que ele ocupa: M_ar = d_ar·V. O problema é encontrar a densidade do ar, já que ela depende da temperatura e da pressão.
Para ilustrar este problema veja a animação do processo de aquecimento do ar num balão.

A chama dos queimadores aquece o ar mais próximo da boca e, por causa das correntes de convecção, o ar quente sobe e distribui o calor por todo o balão.
Porém, o balão não é totalmente isolado, e o ar vai perdendo calor através das paredes e desce para a boca, onde será aquecido.
O ar no interior do balão exerce uma pressão contra as paredes, mas o ar de fora do balão também pressiona as paredes, com a pressão atmosférica.
Quando o balão está inflado as pressões, interna e externa, se igualam, porque o ar interno e externo se comunicam através da boca do balão.

A temperatura média dentro do balão é cerca de 100°C (373,15 K), e a pressão é igual à pressão atmosférica (101.300 Pa ao nível do mar). Com isso, podemos usar a Equação de Clapeyron para encontrarmos a densidade do ar aquecido:

A massa molar (M_molar) do ar que respiramos está em torno de 0,029 kg/mol (80% de gás nitrogênio e 20% de gás oxigênio), e a constante dos gases vale 8,31 J/mol·K. Portanto, substituindo os valores, encontramos a densidade do ar aquecido como sendo igual a 0,947 kg/m³.
Note que a densidade do ar externo, que vale 1,21 kg/m³ a 20°C, é maior que a densidade do ar interno aquecido.
De posse da densidade encontramos a massa do ar interno: M_ar = d_ar·V = 4.735 kg. E encontramos, também, o peso do balão: P_balão = (M_bruta+M_ar)·g = (1.300+4.735)·10 = 60.350 N.

Por fim, vamos calcular o empuxo do ar deslocado e compará-lo ao peso. Para encontrar o empuxo devido à massa de ar externa vamos utilizar o Princípio de Arquimedes, ou seja, E = d·V·g. A densidade do ar externo vale 1,21 kg/m³ (20°C) e foi deslocado um volume igual ao do balão. Portanto, a força de empuxo vale E = 1,21·5.000·10 = 60.500 N.
Como o empuxo é um pouco maior que o peso do balão (E = 60.500 N > P_balão = 60.350 N) conclui-se que, a uma temperatura de 100°C, o balão consegue flutuar no ar.